Question

【題目】二次函數＝＋＋的頂點Ｍ是直線＝－和直線＝＋的交點．

（1）若直線＝＋過點D（0，－3），求M點的坐標及二次函數＝＋＋的解析式；

（2）試證明無論取任何值，二次函數＝＋＋的圖象與直線＝＋總有兩個不同的交點；

（3）在（1）的條件下，若二次函數＝＋＋的圖象與軸交于點C，與的右交點為A，試在直線＝－上求異于M的點P，使P在△CMA的外接圓上．

Answer 1

【答案】（1）M點坐標為M（2，－1），二次函數＝＋＋的解析式為： ＝－4＋3；

（2）證明見解析；

（3）P（－， ）

【解析】（本小題滿分１４分）

解：（１）把Ｄ（０，－３）坐標代入直線＝＋中，

得＝－３，從而得直線＝－３．……………………………………………１分

由Ｍ為直線＝－與直線＝－３的交點，

得，………………………………………………………………………２分

解得，∴得Ｍ點坐標為Ｍ（２，－１）．…………………………………３分

∵Ｍ為二次函數＝＋＋的頂點，∴其對稱軸為＝２，

由對稱軸公式： ＝－，得－＝２，∴＝－４；

由＝－１，得＝－１，得＝３．

∴二次函數＝＋＋的解析式為： ＝－４＋３；………………４分

［也可用頂點式求得解析式：由Ｍ（２，－１），

得＝－１，展開得＝－４＋３］

（２）∵Ｍ是直線＝－和＝＋的交點，得，

解得，∴得Ｍ點坐標為Ｍ（－， ）．…………………………１分

從而有－＝－和＝，

解得＝； ＝＋．…………………………………………………３分

由，得＋（－１）＋－＝０，……………………４分

該一元二次方程根的判別式

⊿＝（－１）２－４（－）

＝（－１）２－４（＋－）＝１＞０，…………………………５分

∴二次函數＝＋＋的圖象與直線＝＋總有兩個不同的交點；

（３）解法①：

由（１）知，二次函數的解析式為： ＝－４＋３，

當＝０時， ＝３．∴點Ｃ的坐標為Ｃ（０，３）．……………………………１分

令＝０，即－４＋３＝０，解得＝１， ＝３，

∴點Ａ的坐標為Ａ（３，０）．………………………………………………………２分

由勾股定理，得ＡＣ＝３．∵Ｍ點的坐標為Ｍ（２，－１），

過Ｍ點作軸的垂線，垂足的坐標應為（２，０），由勾股定理，

得ＡＭ＝；過Ｍ點作軸的垂線，垂足的坐標應為（０，－１），

由勾股定理，得ＣＭ＝＝＝２．

∵ＡＣ２＋ＡＭ２＝２０＝ＣＭ２，∴△ＣＭＡ是直角三角形，……………………３分

ＣＭ為斜邊，∠ＣＡＭ＝９０°．

直線＝－與△ＣＭＡ的外接圓的一個交點為Ｍ，另一個交點為Ｐ，

則∠ＣＰＭ＝９０°．即△ＣＰＭ為Ｒt△．………………………………………４分

設Ｐ點的橫坐標為，則Ｐ（，－ ）．過點Ｐ作軸垂線，

過點Ｍ作軸垂線，兩條垂線交于點Ｅ（如圖４），則Ｅ（，－１）．

過Ｐ作ＰＦ⊥軸于點Ｆ，則Ｆ（０，－ ）．

在Ｒt△ＰＥＭ中，ＰＭ２＝ＰＥ２＋ＥＭ２

＝（－＋１）２＋（２－）２＝－５＋５．

在Ｒt△ＰＣＦ中，ＰＣ２＝ＰＦ２＋ＣＦ２＝＋（３＋）２

＝＋３＋９．在Ｒt△ＰＣＭ中，ＰＣ２＋ＰＭ２＝ＣＭ２，

得＋３＋９＋－５＋５＝２０，

化簡整理得５－４－１２＝０，解得＝２， ＝－．

當＝２時， ＝－１，即為Ｍ點的橫、縱坐標．

∴P點的橫坐標為－，縱坐標為．

∴Ｐ（－， ）．……………………………………………………………………５分

解法②［運用現行高中基本知識（解析幾何）：線段中點公式及兩點間距離公式］：

設線段ＣＭ的中點（即△ＣＭＡ內接圓的圓心）為Ｈ，則由線段中點公式，可求出Ｈ的坐標為Ｈ（１，１）．∵點Ｐ在⊙Ｈ上，∴點Ｐ到圓心Ｈ的距離等于半徑．

設點Ｐ的坐標為：Ｐ（，－ ），由兩點間的距離公式，得ＰＨ的長度為：

，從而有： ＝，即

＝５，化簡，整理，得化簡整理得５－４－１２＝０，解得＝２， ＝－．當＝２時， ＝－１，即為Ｍ點的橫、縱坐標．

∴P點的橫坐標為－，縱坐標為．

∴Ｐ（－， ）．