Question

（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.

Answer 1

（1）見解析（2）成立（3）△DEF為等邊三角形

解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA=90⁰。
∵∠BAC＝90⁰，∴∠BAD+∠CAE=90⁰。
∵∠BAD+∠ABD=90⁰，∴∠CAE=∠ABD。
又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。
∴DE="AE+AD=" BD+CE。
（2）成立。證明如下：
∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180⁰—。∴∠DBA=∠CAE。
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。
∴DE=AE+AD=BD+CE。
（3）△DEF為等邊三角形。理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60⁰。
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF。∴∠DBF=∠FAE。
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）。∴DF=EF，∠BFD=∠AFE。
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60⁰。
∴△DEF為等邊三角形。
（1）因為DE=DA+AE，故由AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE。
（2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD。
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60⁰，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60⁰得到△DEF是等邊三角形。