Question

【題目】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點P為直線BC上一動點（不與點B，C重合），連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉α度得到線段PQ，連接CQ．

（1）當α＝90°，且點P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點F，如圖1，圖中與△APF全等的是哪個三角形，∠ACQ的度數．

（2）當點P在BC延長線上，AB：AC＝m：n時，如圖2，試求線段BP與CQ的比值；

（3）當點P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長．

Answer 1

【答案】（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．

【解析】

（1）依據條件判定△APF≌△PQC，可得∠PCQ＝∠AFP＝135°，依據∠ACB＝45°，可得∠ACQ＝90°；

（2）過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，判定△AFP≌△PCQ，可得FP＝CQ，再根據△ABC∽△FBP，可得，進而得出 ；

（3）分兩種情況進行討論：點P在CB的延長線上，點P在BC的延長線上，分別依據全等三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質，即可得到線段CQ的長．

（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵PF∥AC，

∴∠BPF＝∠BFP＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴BF＝BP，

∴AF＝CP，

由旋轉可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，

∴∠QPC＝45°﹣∠APF，

又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，

∴∠PAF＝∠QPC，

∴△APF≌△PQC（SAS）

∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，

又∵∠ACB＝45°，

∴∠ACQ＝90°，

故答案為：△PQC，90；

（2）如圖②，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，

又∵AB＝BC，

∴AF＝CP，

又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，

∴∠FAP＝∠CPQ，

由旋轉可得，PA＝PQ，

∴△AFP≌△PCQ（SAS），

∴FP＝CQ，

∵PF∥AC，

∴△ABC∽△FBP，

∴

∴；

（3）如圖，當P在CB的延長線上時，

∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，

∴∠APC＝∠QPC，

又∵AP＝QP，PC＝PC，

∴△APC≌△QPC（SAS），

∴CQ＝AC，

又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，

∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，

∴QC＝AC＝BC＝2；

如圖，當P在BC的延長線上時，連接AQ，

由旋轉可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，

∴△APQ是等邊三角形，

∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，

又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，

∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，

∴∠CAP＝∠APA，

∴AC＝PC，且AQ＝PQ，CQ＝CQ

∴△ACQ≌△PCQ（SSS）

∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，

∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．

綜上所述，線段CQ的長為2或8．