Question

如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動點，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=          ；
②求證：PM+PN=3a；
（2）如圖2，點O是AD的中點，連接OM、ON，求證：OM=ON；
（3）如圖3，點O是AD的中點，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）①60°，②證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）四邊形MONG是菱形，理由見解析．

試題分析：（1）①運用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于點G，BH⊥MP于點H，CL⊥PN于點L，DK⊥PN于點K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，
（2）連接OE，由△OMA≌△ONE證明，
（3）連接OE，由△OMA≌△ONE，再證出△GOE≌△NOD，由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形求出四邊形MONG是菱形．
試題解析：（1）①∵四邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°，
故答案為；60°．
②如圖1，作AG⊥MP交MP于點G，BH⊥MP于點H，CL⊥PN于點L，DK⊥PN于點K，
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN.
∵正六邊形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．

（2）如圖2，連接OE，
∵四邊形ABCDEF是正六邊形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，
在△ONE和△OMA中，
，
∴△OMA≌△ONE（SAS），
∴OM=ON．
（3）如圖3，連接OE，
由（2）得，△OMA≌△ONE，
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四邊形AOEF是平行四邊形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GON=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和∠DON中，
，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等邊三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等邊三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四邊形MONG是菱形．