Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（－3，0）.

（1）求b的值及點B的坐標；

（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）一動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發，以每秒1個單位的速度向點C運動（當點P運動到點B時，點Q隨之停止運動），設運動時間為t秒，當t為何值時，△PBQ與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1），B的坐標為（1，0）；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）當t＝1秒或秒時，△PBQ與△ABC相似

【解析】

（1）將點A的坐標代入中可解得b的值，由此可得拋物線的解析式，在所得解析式中令y=0得到關于x的方程，解方程即可求得點B的坐標；

（2）由（1）中所得拋物線的解析式可求得點C的坐標，結合點A、B的坐標可求得OA、OB、OC和AB的長度，這樣由勾股定理可求得AC和BC的長，再證AB2=AC2+BC2可得△ABC是直角三角形；

（3）由題意用含t的代數式表達出BP和BQ的長度，結合∠ABC是公共角，∠ACB=90°，分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況進行討論即可求得△PBQ與△ABC相似時對應的t的值.

（1）將點A（－3，0）代入拋物線可得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：，

令y＝0，得，解得x1＝-3， x2=1，

∴點B的坐標為：（1，0）；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

對于拋物線，令x＝0，得y＝，

∴點C的坐標為（0，），

∴OC=，OA=3，OB=1，AB=4，

∴在Rt△AOC中，由勾股定理可得AC=，在Rt△COB中，由勾股定理可得BC=2，

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）由題意可得：AP＝2t，BP＝4－2t，BQ＝t，CQ＝2－t，

∵在△ABC和△PBQ中，∠ABC和∠PBQ是公共角，∠ACB=90°，

∴若△PBQ與△ABC相似，則∠PQB＝90°或∠QPB＝90°，

①當∠PQB＝90°時，易得AC∥PQ，則△PQB~△ACB，

∴ ，即，解得t＝1；

②當∠QPB＝90°，則△QPB~△ACB，

∴ ，即，解得；

綜上所述：當t＝1秒或秒時，△PBQ與△ABC相似.