Question

【題目】如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB=3cm，將紙片沿對角線AC對折，BC邊的對應邊B′C與AD邊交于點E，此時△CDE恰為等邊三角形中，求：

（1）AD的長度．

（2）重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）AD=6cm；（2）S△ACE=cm2．

【解析】

（1）首先根據等邊三角形的性質可得DF=DC=EC，∠D=60°，根據折疊的性質，∠BCA=∠B′CA，再利用平行四邊形的性質證明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半可得CD長，進而可得AB的長；
（2）利用三角函數值計算出AC，然后根據三角形的中線平分三角形的面積可得S△ACE=S△ACD，進而可得答案．

解：（1）∵△CDE為等邊三角形，

∴DE=DC=EC，∠D=60°，

根據折疊的性質，∠BCA=∠B′CA，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，

∴∠EAC=∠BCA，

∴∠EAC=∠ECA，

∴EA=EC，

∴∠DAC=30°，

∴∠ACD=90°，

∴AD=2CD=6cm；

（2）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，

∴AC=3cm，

∴S△ACE=×AC×CD=cm2．