Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，B、C兩點的坐標分別為B（0，3）和C（0，﹣），點A在x軸正半軸上，且滿足∠BAO＝30°．

（1）過點C作CE⊥AB于點E，交AO于點F，點G為線段OC上一動點，連接GF，將△OFG沿FG翻折使點O落在平面內的點O′處，連接O′C，求線段OF的長以及線段O′C的最小值；

（2）如圖2，點D的坐標為D（﹣1，0），將△BDC繞點B順時針旋轉，使得BC⊥AB于點B，將旋轉后的△BDC沿直線AB平移，平移中的△BDC記為△B′D′C′，設直線B′C′與x軸交于點M，N為平面內任意一點，當以B′、D′、M、N為頂點的四邊形是菱形時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或或或

【解析】

（1）解直角三角形求出OF，CF，根據CO′≥CF﹣O′F求解即可．

（2）分四種情形：①如圖2中，當B′D′＝B′M＝BD=時，可得菱形MND′B′．②如圖3中，當B′M是菱形的對角線時．③如圖4中，當B′D′是菱形的對角線時．④如圖5中，當MD′是菱形的對角線時，分別求解即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴∠CBE=60°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，∠BCE=30°，
∵C（0，-），
∴OC=，OF=OCtan30°=，CF=2OF=3，
由翻折可知：FO′=FO=，
∴CO′≥CF-O′F，
∴CO′≥，
∴線段O′C的最小值為．
（2）①如圖2中，當B′D′=B′M=BD=時，可得菱形MND′B′．

在Rt△AMB′中，AM=2B′M=2，
∴OM=AM-OA=2-3，
∴M（3-2，0）．
②如圖3中，當B′M是菱形的對角線時，由題意B′M=2OB=6，此時AM=12，OM=12-3，可得M（3-12，0）．

③如圖4中，當B′D′是菱形的對角線時，由∠D′B′M=∠DBO

可得，所以B′M=

則在RT△AM B′中，AM=2B′M=，所以OM=OA-AM=3-，所以M（3-，0）．

④如圖5中，當MD′是菱形的對角線時，MB′=B′D′=，可得AM=2，OM=OA+AM=3+2，所以M（3+2，0）．

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（3+2，0）或（3-12，0）或（3-，0）或（3+2，0）．