Question

把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時，點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處，又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點，按順時針方向旋轉90°…，按上述方法經過4次旋轉后，頂點O經過的總路程為　　，經過61次旋轉后，頂點O經過的總路程為　　．

Answer 1

，

為了便于標注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉后向右稍微平移一點，作出前幾次旋轉后的圖形，點O的第1次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，第2次旋轉路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°為圓心角的扇形，第3次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，第4次旋轉點O沒有移動，旋轉后與最初正方形的放置相同．
①根據弧長公式列式進行計算即可得解；
②求出61次旋轉中有幾個4次，然后根據以上的結論進行計算即可求解．
解：如圖，為了便于標注字母，且位置更清晰，每次旋轉后不防向右移動一點，

第1次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，路線長為=；第2次旋轉路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°為圓心角的扇形，路線長為=；第3次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，路線長為=；第4次旋轉點O沒有移動，旋轉后與最初正方形的放置相同，因此4次旋轉，頂點O經過的路線長為++=；∵61÷4=15…1，∴經過61次旋轉，頂點O經過的路程是4次旋轉路程的15倍加上第1次路線長，×15+=．
故答案分別是：；．