Question

【題目】如圖，已知ABCD．

（1）用直尺和圓規在BC邊上取一點E，使AB=AE，連結AE；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的前提下，求證：AE=CD；∠EAD=∠D；

（3）若點E為BC的中點，連接BD，交AE于F，直接寫出EF：FA的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析（3）1:2

【解析】分析：(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，該圓與BC的交點即為所求的點E;(2)根據平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EAD,根據等邊對等角可得∠ABE=∠AEB,即可得證；(3)由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值。

詳解：（1）如圖所示：

；

（2）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠B=∠EAD，

∵∠B=∠D，

∴∠DAE=∠D；

（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△BEF∽△AFD，

∴=，

∵E為BC的中點，

∴BE=BC=AD，

∴EF：FA=1：2．