Question

【題目】如圖，點M是矩形ABCD的邊AD延長線上一點，以AM為直徑的⊙O交矩形對角線AC于點F，在線段CD上取一點E，連接EF，使EC＝EF．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）FC＝.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和直角三角形兩銳角互余證得∠EFC+∠OFA=90°，即可證得∠EFO=90°，即EF⊥OF，從而證得結論；
（2）根據圓周角定理得出∠AFM=90°，通過解直角三角形求得AM=10，得出AD=8，進而求得，即可求得．

（1）證明：連接OF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD+∠DCA＝90°，

∵EC＝EF，

∴∠DCA＝∠EFC，

∵OA＝OF，

∴∠CAD＝∠OFA，

∴∠EFC+∠OFA＝90°，

∴∠EFO＝90°，

∴EF⊥OF，

∵OF是半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）連接MF，

∵AM是直徑，

∴∠AFM＝90°，

在Rt△AFM中，，

∵AF＝6，

∴，

∴AM＝10，

∵MD＝2，

∴AD＝8，

在Rt△ADC中，，

∴，

∴，

∴ .