Question

如圖1，平移拋物線F₁：y＝x²后得到拋物線F₂．已知拋物線F₂經過拋物線F₁的頂點M和點A（2，0），且對稱軸與拋物線F₁交于點B，設拋物線F₂的頂點為N．

⑴探究四邊形ABMN的形狀及面積（直接寫出結論）

⑵若將已知條件中的“拋物線F₁：y＝x²”改為“拋物線F₁：y＝ax²”（如圖2），“點A（2，0）”改為“點A（m，0）”，其它條件不變，探究四邊形ABMN的形狀及其面積，并說明理由．

⑶若將已知條件中的“拋物線F₁：y＝x²”改為“拋物線F₁：y＝ax²＋c，”（如圖3），“點A（2，0）”改為“點A（m，c）”其它條件不變，求直線AB與y軸的交點C的坐標（直接寫出結論）

 

Answer 1

解：(1)四邊形ABMN是正方形，其面積為2．……………………………2分

(2)四邊形ABMN是菱形.當>0時，四邊形ABMN的面積為；當<0時，四邊形ABMN的面積為 -………………………………………………………………2分

(說明：如果沒有說理過程，探究的結論正確的得2分)

理由：∵平移拋物線后得到拋物線，且拋物線經過原點O，

∴設拋物線的解析式為+．

∵拋物線經過點A（，0），

∴

依題可知∴，

∴拋物線的解析式為，…………………………………………3分

∴

∴拋物線的對稱軸為直線，頂點N（，）………………4分

∵拋物線的對稱軸與拋物線的交點為B，

∴點B的橫坐標為，

∵點B在拋物線：上，

∴=，……………………………5分

設拋物線的對稱軸與軸交于點P，

∵0∴BP=，

∵頂點N（，）

∴NP==，

∴BP =NP，…………………………………………6分

∵拋物線是軸對稱圖形，

∴OP =AP，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，…………………7分

∵BN是拋物線的對稱軸，

∴BN⊥OA，

∴四邊形ABMN是菱形，…………………………8分

∵BN= BP +NP，

∴BN=，

∵四邊形ABMN的面積為OA=，

∴當>0時（如圖1），四邊形ABMN的面積為=；………9分

當<0時，四邊形ABMN的面積為（-）=．…………10分

(3)點C的坐標為（0，）（參考圖2）．………………………………12分