Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c過點A（3，0）和原點O．正方形BCDE的頂點B在拋物線y=x²+bx+c上，且在對稱軸的左側，點C、D在x軸上，點E在第四象限，且OD=1
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求正方形BCDE的邊長；
（3）若正方形BCDE沿x軸向右平移，當正方形的頂點落在拋物線y=x²+bx+c上時，求平移的距離；
（4）若拋物線y=x²+bx+c沿射線BD方向平移，使拋物線的頂點P落在x軸上，求拋物線平移的距離．

Answer 1

分析：（1）將A和原點的坐標代入拋物線中，即可求出拋物線的解析式．
（2）可設出C的坐標如（a，0），那么CD=BC=1-a，因此B點坐標為（a，1-a）代入拋物線的解析式中即可求出B點坐標．
（3）本題要按四邊頂點分別在拋物線的圖象上這四種情況進行求解，解題思路一致．以E點落在拋物線圖象上為例說明：題（2）已經求出了正方形的邊長為

3

-1，根據拋物線的對稱性，那么此時E′的坐標為（1+

3

，1-

3

），已知了OD=6，而OD′=1+

3

，因此移動的距離為OD′-OD=

3

．（其他情況解法一樣）．
（4）假設平移后拋物線的頂點為P′，可先根據直線BD的解析式求出直線PP′的解析式，進而求出P′的坐標，那么PP′就是拋物線平移的距離．

解答：解：（1）由題意可得：

9+3b+c=0 c=0

，
解得

b=-3 c=0

∴y=x²-3x．

（2）設正方形的邊長為a，
則B（1-a，-a）代入解析式．
得a=

3

-1

（3）①當E點運動到拋物線上時，設平移后正方形為A′B′C′D′，
根據拋物線的對稱性可知：E′（1+

3

，1-

3

），
因此OD′=1+

3

，即平移的距離為OD′-OD=

3

．
②當B點運動到拋物線上時，同理可求得B′（1+

3

，1-

3

），
因此OC′=1+

3

，
因為OC=1-a=2-

3

，
因此平移的距離為OC′-OC=2

3

-1．
③當D點運動到拋物線上時，可得D′（3，0），因此平移的距離為OD′-OD=3-1=2．
④當C點運動到拋物線上時，可得C′（3，0），因此拋物線移動的距離為OC′-OC=3-（2-

3

）=1+

3

．
綜上所述，正方形平移的距離為

3

，2，2

3

-1，

3

+1．

（4）設平移后拋物線的頂點為P′，易知：直線BD的解析式為y=x-1．
因此可設直線PP′的解析式為y=x+h．
易知P（

3

2

，-

9

4

），代入直線PP′中可得h=-

15

4

．
因此P′（

15

4

，0）則平移的距離為

( 3 2 - 15 4 )2+(- 9 4 )2

=

9 2

4

．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、正方形的性質、函數圖象的平移、一次函數的應用等知識．