Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過(guò)Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸的負(fù)半軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，代入解析式求出即可；
（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，利用函數(shù)平移①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，分別分析求出；
（3）由點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（m，m²），（n，n²），得出m+n=k，m•n=-3，利用作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)R（-m，m²），作直線FR交y軸于點(diǎn)P，由對(duì)稱性知∠EFP=∠FPQ，此時(shí)△PEF的內(nèi)心在y軸上，求出即可．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+3；

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），
直線OD的解析式為y=

1

2

x．于是設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，解得h=

-1± 145

4

，
∴當(dāng)

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時(shí)，平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，
②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時(shí)拋物線y=（x-4）²+2與射線CD只有唯一一個(gè)公共點(diǎn)為（3，3），
綜上所述，平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h的取值范圍為h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

；

（3）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+3（k≠0），
點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（m，m²），（n，n²），
由

y=x2 y=kx+3

得x²-kx-3=0，
∴m+n=k，m•n=-3，
作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)R（-m，m²），作直線FR交y軸于點(diǎn)P，
由對(duì)稱性知∠EPQ=∠FPQ，此時(shí)△PEF的內(nèi)心在y軸上，
∴點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．
由F，R的坐標(biāo)可得直線FR的解析式為y=（n-m）x+mn記y=（n-m）x-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴p（0，-3），
∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3）使△PEF的內(nèi)心在y軸上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形內(nèi)心的特點(diǎn)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．