Question

（2012•錦州二模）如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，已知點B（8，0），tan∠OCB=2，△ABC的面積為8．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若平行于x軸的動直線EF從點C 出發，以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發在線段BO上以每秒2個單位的速度運動，連接PF、AF，設運動時間為t秒．△AFP的面積為S，求S與t的函數表達式；
（3）在（2）的條件下，是否存在t值，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據點B（8，0），tan∠OCB=2可求出OC的長，進而得出C點坐標，由△ABC的面積為8可求出AB的長，故可得出A點坐標，設所求拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點坐標代入即可求出a、b、c的值，進而得出結論；
（2）由PB=2t，CE=t，可知OE=4-t，△AFP的高等于OE，再根據0≤t≤2時，AP=4-2t和2＜t≤4時AP=2t-4，由三角形的面積公式即可得出結論；
（3）在Rt△OBC中，由OB=8，OA=4，可求出BC的長，在Rt△EFC中，由tan∠OCB=2，EC=t，可得出EF，CF的表達式，再由BP=2t可得出BF=BC-CF，由于在△ABC與△BFP中兩相似三角形的對應邊不能確定，故應分△ABC∽△PBF和△ABC∽△FBP兩種情況進行討論．

解答：解：（1）在Rt△OBC中，
∵點B（8，0），tan∠OCB=

OB

OC

=2，
∴OC=4，即點C坐標為（0，-4）．
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=8，
∴AB=4．
∴點A的坐標為（4，0）．
設所求拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，
∵點C（0，-4），則c=-4，
又∵拋物線過點A（4，0），B（8，0），
∴

16a+4b-4=0 64a+8b-4=0

，
解得

a=- 1 8 b= 3 2

，
故所求拋物線的表達式為y=-

1

8

x²+

3

2

x-4；

（2）∵PB=2t，CE=t，
∴OE=4-t，△AFP的高等于OE．
①當0≤t≤2時，AP=4-2t，
S=

1

2

AP•OE=

1

2

（4-2t）（4-t）=t²-6t+8；
②當2＜t≤4時，AP=2t-4，
S=

1

2

AP•OE=

1

2

（2t-4）（4-t）=-t²+6t-8．
故S=

t2-6t+8(0≤t≤2) -t2+6t-8(2＜t≤4)

；    


（3）在Rt△OBC中，
∵OB=8，OA=4，
∴由勾股定理得BC=4

5

．
在Rt△EFC中，
∵tan∠OCB=2，EC=t
∴EF=2t，CF=

5

t．
∵BP=2t，
∴BF=BC-CF=4

5

-

5

t=

5

（4-t）．
在△ABC與△BFP中，有公共角∠B．
①當

AB

BC

=

PB

FB

時，△ABC∽△PBF．此時

4

4 5

=

2t

5 (4-t)

，解得t=

4

3

．
②當

AB

BC

=

FB

BP

時，△ABC∽△FBP．此時

4

4 5

=

5 (4-t)

2t

，解得t=

20

7

．
綜上所述，當t=

4

3

或t=

20

7

時，△ABC與△PBF相似．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數的解析式、銳角三角函數的定義、相似三角形的判定與性質等相關知識，在解答（2）、（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．