Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC，點E在邊BC上，△ADE為等邊三角形．若CD=2．求AD的長．

Answer 1

分析 過點D作DF⊥AB于點F，設CE=x，EB=y，由勾股定理和等邊三角形可求出x與y的值．

解答 解：過點D作DF⊥AB于點F，
設CE=x，EB=y，
由題意可知：AB=BC=x+y，
AF=x+y-2
在Rt△ABE與Rt△CDE中，
由勾股定理可知：DE²=x²+4，
AE²=（x+y）²+y²
又∵△ADE是等邊三角形，
∴x²+4=（x+y）²+y²，
化簡可得：xy+y²=2
在Rt△ADF中，
∴AD²=（x+y-2）²+（x+y）²，
∵AD=AE，
∴（x+y-2）²+（x+y）²=（x+y）²+y²
化簡可得：x+y-2=y
∴x=2，
∴y+y²=2，
解得：y=1或y=-2（舍去）
∴AB=3，EB=1，
∴AE=AD=$\sqrt{10}$

點評 本題考查勾股定理，解題的關鍵是利用勾股定理列出方程求出x與y的值，本題涉及等邊三角形的性質，一元二次方程的解法等知識，題目較為綜合．