Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（0，﹣4）和B（2，0）兩點．

（1）求c的值及a，b滿足的關系式；

（2）若拋物線在A和B兩點間，從左到右上升，求a的取值范圍；

（3）拋物線同時經過兩個不同的點M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．

①若m＝n，求a的值；

②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）﹣1≤a＜0或0＜a≤1；（3）①a＝；②a＝1

【解析】

（1）直接將AB兩點代入解析式可求c，以及a，b之間的關系式．
（2）根據拋物線的性質可知，當a＞0時，拋物線對稱軸右邊的y隨x增大而增大，結合拋物線對稱軸x=和A、B兩點位置列出不等式即可求解；

（3）①根據拋物線的對稱性得出，解得a=；

②根據M、N的坐標，易證得兩點都在直線y=-2x-3上，即M、N是直線y=-2x-3與拋物線y=ax2+（2-2a）x-4的交點，然后根據根與系數的關系得出p+（-2-p）=，解得a=1．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過點A（0，﹣4）和B（2，0）．

∴，

∴c＝﹣4，2a+b＝2．

（2）由（1）可得：y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4，

對稱軸為：x＝＝，

∵拋物線在A、B兩點間從左到右上升，即y隨x的增大而增大；

①當a＞0時，開口向上，對稱軸在A點左側或經過A點，

即：≤0，

解得：a≤1

∴0＜a≤1；

②當a＜0時，開口向下，對稱軸在B點右側或經過B點，

即≥2，

解得：a≥﹣1；

∴﹣1≤a＜0，

綜上，若拋物線在A和B兩點間，從左到右上升，a的取值范圍為﹣1≤a＜0或0＜a≤1；

（3）①若m＝n，則點M（p，m），N（﹣2﹣p，n）關于直線x＝對稱，

∴，

∴a＝；

②∵m＝﹣2p﹣3，

∴M（p，m）在直線y＝﹣2x﹣3上，

∵n＝2p+1＝﹣2（﹣2﹣p+2）+1＝﹣2（﹣p﹣2）﹣3，

∴N（﹣2﹣p，n）在直線y＝﹣2x﹣3上，

即M、N是直線y＝﹣2x﹣3與拋物線y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交點，

∴p和﹣2﹣p是方程ax2+（2﹣2a）x﹣4＝﹣2x﹣3的兩個根，

整理得ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，

∴p+（﹣2﹣p）＝，

∴a＝1．