Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交射線BO于點(diǎn)F．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 時(shí)，PQ∥EF；
（2）若P、Q關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、Q′，當(dāng)線段P′Q′與線段EF有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是 .

Answer 1

【答案】；
【解析】解：（1）如圖1，

當(dāng)PQ∥EF時(shí)，則∠QPO=∠ENA，
又∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△AEN∽△QOP，
∵∠AOB=90°，AO=，BO=1，
∴tanA===，
∴∠A=∠PQO=30°，
∴==，
解得：t=，
故當(dāng)t=時(shí)，PQ∥EF；
所以答案是：；
（2）如圖2，

當(dāng)P點(diǎn)介于P1和P2之間的區(qū)域時(shí)，P1′點(diǎn)介于P1′和P2′之間，此時(shí)線段P′Q′與線段EF有交點(diǎn)，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P1時(shí)，
∵AE=AB=1，且易知△AEP1′∽△AOB，
∴，∴AP1′=，
∴P1O=P1′O=，
∴AP1=AO+P1O=，
∴此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t==s，
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P2時(shí)，
∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，
∴∠B=60°，
∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，
∴FB=FA，
∴△FBA是等邊三角形，
∴當(dāng)PO=OA=時(shí)，此時(shí)Q2′與F重合，A與P2′重合，
∴PA=2，則t=1秒時(shí)，線段P′Q′與線段EF有公共點(diǎn)，
故當(dāng)t的取值范圍是：≤t≤1 ．
所以答案是：≤t≤1 ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等才能正確解答此題．