Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經過點E，且交BC于點F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若BF=12，⊙O的半徑為10，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）8.

【解析】

（1）根據角平分線的定義和同圓的半徑相等可得：OE∥BC，所以OE⊥AC，則AC是⊙O的切線；

（2）作弦心距OH，根據垂徑定理求得BH，再根據勾股定理求OH的長，根據矩形的性質即可求得CE=OH=8．

（1）證明：連接OE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABE，

∵OB=OE，

∴∠ABE=∠OEB，

∴∠CBE=∠OEB，

∴OE∥BC，

∵∠ACB=90°，

∴OE⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：過O作OH⊥BC于H，

∴BH=HF=6，

在Rt△OBH中，

OH===8，

在矩形OHCE中，CE=OH=8．