Question

如圖，拋物線y=ax²-2x+c經過直線y=x-3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）⊙M是過A、B、C三點的圓，連接MC、MB、BC，求劣弧CB的長；（結果用精確值表示）
（3）點P為拋物線上的一個動點，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點P的坐標．（結果用精確值表示）

Answer 1

（1）把x=0和y=0分別代入y=x-3，
得當x=0時，y=-3；
當y=0時，x=3．
∴A（3，0），B（0，-3）．
把x=0時，y=-3；當y=0時，x=3代入y=ax²-2x+c，
得

c=-3 9a-6+c=0

，
解得：

c=-3 a=1

，
∴y=x²-2x-3．

（2）當y=0時，x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴C（-1，0）
∴AC=4，BC=

10

．
∵OA=OB=3，
∴∠CAB=45°，
∴∠CMB=90度．
∴MB=MC=

5

∴

BC

的長是

5

2

π．

（3）∵y=x²-2x-3的對稱軸是x=-

b

2a

=1，
當x=1時，y=-4，
∴D（1，-4）．
∴S_△ACD=

1

2

×4×4=8，
∴S_△APC=10．
設存在點P（x，y），
∴|y|=5．
∴y=5時，x²-2x-3=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
當y=-5時，P點不在拋物線上，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）．