Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²-x+a與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其頂點在直線y=-2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐標；
（3）以AC，CB為一組鄰邊作?ACBD，則點D關于x軸的對稱點D′是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=

1

2

x²-x+a其頂點在直線y=-2x上．
∴拋物線y=

1

2

x²-x+a，
=

1

2

（x²-2x）+a，
=

1

2

（x-1）²-

1

2

+a，
∴頂點坐標為：（1，-

1

2

+a），
∴y=-2x，-

1

2

+a=-2×1，
∴a=-

3

2

；

（2）二次函數解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
∵拋物線y=

1

2

x²-x-

3

2

與x軸交于點A，B，
∴0=

1

2

x²-x-

3

2

，
整理得：x²-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四邊形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵

∠DEB=∠AOC ∠DBE=∠CAO BD=AC

∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函數解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
∴圖象與y軸交點坐標為：（0，-

3

2

），
∴CO=

3

2

，∴DE=

3

2

，
D點的坐標為：（2，

3

2

），
∴點D關于x軸的對稱點D′坐標為：（2，-

3

2

），
代入解析式y=

1

2

x²-x-

3

2

，
∵左邊=-

3

2

，右邊=

1

2

×4-2-

3

2

=-

3

2

，
∴D′點在函數圖象上．