Question

已知拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求拋物線的解析式和頂點P的坐標；
（2）將拋物線沿x軸翻折，再向右平移，平移后的拋物線C₂的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求平移后的拋物線C₂的解析式；
（3）直線y=-

3

5

x+m與拋物線C₁、C₂的對稱軸分別交于點E、F，設由點E、P、F、M構成的四邊形的面積為s，試用含m的代數式表示s．

Answer 1

（1）由拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a-5=a（x+2）²-5得
∴頂點P的坐標為（-2，-5）
∵點B（1，0）在拋物線C₁上，∴a=

5

9

∴拋物線C₁的解析式為y=

5

9

x2+

20

9

x-

25

9

；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G
∵點P、M關于點B成中心對稱
∴PM過點B，且PB=MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5，BG=BH=3
∴頂點M的坐標為（4，5）
∴拋物線C₂的表達式為y=-

5

9

（x-4）²+5；

（3）依題意得，E（-2，

6

5

+m），F（4，-

12

5

+m），HG=6
①當E點的縱坐標小于-5時，
PE=-5-(

6

5

+m)=-

31

5

-m，MF=5-(-

12

5

+m)=

37

5

-m，
∴s=

1

2

(-

31

5

-m+

37

5

-m)×6=-6m+

18

5

；
②當E點的縱坐標大于-5且F點的縱坐標小于5時，
PE=

6

5

+m-(-5)=

31

5

+m，MF=5-(-

12

5

+m)=

37

5

-m，
∴s=

204

5

；
③當F點的縱坐標大于5時，
PE=

6

5

+m-(-5)=

31

5

+m，MF=-

12

5

+m-5=-

37

5

+m
∴s=6m-

18

5

．