Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）求證：無論m為何值，方程總有一個固定的根；
（3）若m為整數，且方程的兩個根均為正整數，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據b²-4ac與零的關系即可判斷出的關于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m為實數）有兩個不相等的實數根的m的取值范圍；
（2）用求根公式求得方程總有一個固定的根是1；
（3）利用（2）的解題結果x1=2-

3

m

必為整數，可得m=±1或m=±3，再根據方程兩個根均為正整數，求得m的值．

解答：（1）解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴（m-3）²＞0且m≠0，
∴m的取值范圍是m≠3且m≠0；

（2）證明：由求根公式，得x=

-b± b2-4ac

2a

=

3(m-1)±(m-3)

2m

，
∴x1=

3m-3+m-3

2m

=

2m-3

m

=2-

3

m

，x2=

3m-3-m+3

2m

=1，
∴無論m為何值，方程總有一個固定的根是1；

（3）∵m為整數，且方程的兩個根均為正整數，
∴x1=2-

3

m

必為整數，
∴m=±1或m=±3，
∵m≠3，
∴當m=1時，x₁=-1；當m=-1時，x₁=5；
當m=-3時，x₁=3．
∴m=-1或m=-3．

點評：本題考查了根的判別式，在解一元二次方程的根時，利用根的判別式△=b²-4ac與0的關系來判斷該方程的根的情況；同時考查了用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程無實數根）；③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．