Question

（2012•延慶縣二模）已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有實(shí)根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，且m取最小的整數(shù)，求此時(shí)方程的兩個(gè)根；
（3）在（2）的前提下，二次函數(shù)y=mx²-（2m+2）x+m-1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)間的線段，并以這條線段為直徑在x軸的上方作半圓P，設(shè)直線l的解析式為y=x+b，若直線l與半圓P只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根得m≠0，且△≥0從而得到12m+4≥0求得m的取值范圍即可；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)m取最小的整數(shù)時(shí)m=1，于是原方程化為：x²-4x=0，解得即可；
（3）根據(jù)當(dāng)直線l經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)與半圓P有兩個(gè)交點(diǎn)，即b=0，當(dāng)直線l與半圓P相切于D點(diǎn)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)得到b=2

2

-2，從而得到當(dāng)0≤b＜2

2

-2時(shí)，直線l與半圓P只有兩個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根∴m≠0，且△≥0
∴△=（2m+2）²-4m（m-1）=12m+4≥0
解得m≥-

1

3

∴當(dāng)m≥-

1

3

，且 m≠0時(shí)此方程有實(shí)根；

（2）∵在（1）的條件下，當(dāng)m取最小的整數(shù)，
∴m=1
∴原方程化為：x²-4x=0
x（x-4）=0       
x₁=0，x₂=4 

（3）解：如圖所示：①當(dāng)直線l經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)與半圓P有兩個(gè)交點(diǎn)，即b=0
②當(dāng)直線l與半圓P相切于D點(diǎn)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，如圖由題意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，
∵DP=2∴EP=2

2

…．（6分）
∴OC=2

2

-2即b=2

2

-2
∴當(dāng)0≤b＜2

2

-2時(shí)，直線l與半圓P只有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題具有較強(qiáng)的綜合性，考查了一元二次方程的根的情況，二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的聯(lián)系，討論一次函數(shù)與半圓的交點(diǎn)的情況．