Question

已知：關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個整數根，m＜5且m為整數．
（1）求m的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=x²-2（m+1）x+m²的圖象沿x軸向左平移4個單位長度，求平移后的二次函數圖象的解析式；
（3）當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，求b的值．

Answer 1

分析：（1）先根據方程有兩個整數根時△≥0且為完全平方數，再由m＜5且m為整數即可求出m的值；
（2）分別求出m=0和m=4時方程的根，再求出m的值，得出拋物線的解析式，然后根據函數圖象平移的法則即可得出平移后的二次函數圖象的解析式；
（3）當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，可知直線與平移前或后的拋物線只有一個交點或者過兩條拋物線的交點（3，-5），
①當直線y=x+b與平移前或后拋物線只有一個交點時可聯立直線與拋物線的解析式，根據△=0求出b的值；
②當直線y=x+b過點（3，-5）時，把此點坐標代入直線解析式即可求出b的值．

解答：解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個整數根，
∴△=4（m+1）²-4m²=8m+4≥0，且為完全平方數．
∵m＜5且m為整數，
∴0≤8m+4＜44，
∴m=0或4；


（2）當m=0時，方程的根為x₁=0，x₂=2；當m=4時，方程的根為x₃=8，x₄=2．
∵方程有兩個非零的整數根，
∴m=4，
∴二次函數y=x²-2（m+1）x+m²的解析式是y=x²-10x+16，
將y=x²-10x+16=（x-5）²-9的圖象沿x軸向左平移4個單位長度得到：y=（x-1）²-9，
∴平移后的二次函數圖象的解析式為y=x²-2x-8；


（3）當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，
可知直線與平移前或后的拋物線只有一個交點或者過兩條拋物線的交點（3，-5），
①當直線y=x+b與平移后的拋物線只有一個交點時，
由

y=x2-2x-8 y=x+b.

得方程x²-2x-8=x+b，
即x²-3x-8-b=0，
∴△=41+4b=0，
∴b=-

41

4

；
當直線y=x+b與平移前的拋物線只有一個交點時，
由

y=x2-10x+16 y=x+b

得方程x²-10x+16=x+b，
即x²-11x+16-b=0，
∴△=121-4（16-b）=57+4b=0，
∴b=-

57

4

；
此時直線y=x-

57

4

和平移后的拋物線沒交點，故舍去．
②直線y=x+b過點（3，-5）時，b=-8．
綜上所述，當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，b=-

41

4

或b=-8．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，熟知一元二次方程根的判別式及函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．