Question

【題目】如圖，已知△ABC，點A在BC邊的上方，把△ABC繞點B逆時針方向旋轉60°得△DBE，繞點C順時針方向旋轉60°得△FEC，連接AD，AF.

(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？請說明理由；

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？請說明理由；

(3)當△ABC滿足什么條件時，以點A，D，E，F為頂點的四邊形不存在？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)△ABD，△ACF，△BCE都是等邊三角形，理由見解析；(2)當∠BAC＝150°，且AB＝AC時，四邊形ADEF是正方形，理由見解析；(3)當∠BAC＝60°時，以點A，D，E，F為頂點的四邊形不存在，理由見解析.

【解析】

（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等邊三角形；

（2）當∠BAC=150°且AB=AC時，四邊形ADEF是正方形，理由為：由旋轉可知DE=AC，根據三角形ACF為等邊三角形，得到AC=AF，等量代換得到DE=AF，同理得到EF=AD，利用兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AFED為平行四邊形，若∠BAC=150°，利用周角定義求出∠DAF為直角，可得出平行四邊形AFED為矩形，再由AB=AC，三角形ADB與三角形ACF都是等邊三角形，得到AD=AF，矩形AFED為正方形，得證；

（3）當∠BAC=60°時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在，理由為：若∠BAC=60°，三角形ADB與三角形ACF都是等邊三角形，利用周角定義求出∠DAF為平角，即D、A、E、F四點共線，即以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

(1)△ABD，△ACF，△BCE都是等邊三角形，

理由：由旋轉可知：AB＝DB，∠ABD＝60°，

AC＝FC，∠ACF＝60°；BC＝BE，∠CBE＝60°，

∴△ABD，△ACF，△BCE都是等邊三角形；

(2)當∠BAC＝150°，且AB＝AC時，四邊形ADEF是正方形，

理由：∵△DBE是由△ABC繞點B旋轉60°而得到的，∴DE＝AC，

由(1)知△ACF為等邊三角形，

∴AC＝AF，∴DE＝AF，

同理可得EF＝AD，

∴四邊形ADEF是平行四邊形，

若∠BAC＝150°，則∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－150°－60°－60°＝90°，

∴四邊形ADEF是矩形，

又∵AB＝AC，∴AD＝AF，

則四邊形ADEF是正方形；

(3)當∠BAC＝60°時，以點A，D，E，F為頂點的四邊形不存在，

理由：若∠BAC＝60°，則∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°，

此時，點A，D，E，F四點共線，

∴以點A，D，E，F為頂點的四邊形不存在.