Question

【題目】已知，如圖1，正方形ABCD的邊長為5，點E、F分別在邊AB、AD的延長線上，且BE=DF，連接EF．

（1）證明：EF⊥AC；

（2）將△AEF繞點A順時針方向旋轉，當旋轉角α滿足0°＜α＜45°時，設EF與射線AB交于點G，與AC交于點H，如圖所示，試判斷線段FH、HG、GE的數量關系，并說明理由．

（3）若將△AEF繞點A旋轉一周，連接DF、BE，并延長EB交直線DF于點P，連接PC，試說明點P的運動路徑并求線段PC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）FH2+GE2=HG2，理由見解析；（3）0≤PC≤5．

【解析】

（1）先證明AE=AF，根據等腰三角形三線合一的性質可得結論；

（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先證明△AGH≌△AGK，得GH=GK，由△AFH≌△AEK，得∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，利用勾股定理得：KG2=EG2+EK2，根據相等關系線段等量代換可得結論：FH2+GE2=HG2；

（3）如圖3，先證明∠FPE=∠FAE=90°，根據90°的圓周角所對的弦是直徑可得：點P的運動路徑是：以BD為直徑的圓，如圖4，可得PC的取值范圍．

（1）證明：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，

∵BE=DF，

∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，

∴AC⊥EF；

（2）解：FH2+GE2=HG2，理由是：

如圖2，過A作AK⊥AC，截取AK=AH，連接GK、EK，

∵∠CAB=45°，

∴∠CAB=∠KAB=45°，

∵AG=AG，

∴△AGH≌△AGK，

∴GH=GK，

由旋轉得：∠FAE=90°，AF=AE，

∵∠HAE=90°，

∴∠FAH=∠KAE，

∴△AFH≌△AEK，

∴∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，

∵∠AEH=45°，

∴∠KEG=45°+45°=90°，

Rt△GKE中，KG2=EG2+EK2，

即：FH2+GE2=HG2；

（3）解：如圖3，

∵AD=AB，∠DAF=∠BAE，AE=AF，

∴△DAF≌△BAE，

∴∠DFA=∠BEA，

∵∠PNF=∠ANE，

∴∠FPE=∠FAE=90°，

∴將△AEF繞點A旋轉一周，總存在直線EB與直線DF垂直，

∴點P的運動路徑是：以BD為直徑的圓，如圖4，

當P與C重合時，PC最小，PC=0，

當P與A重合時，PC最大為5，

∴線段PC的取值范圍是：0≤PC≤5．