Question

【題目】已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，點D是BC中點，AD＝AC，BC＝4，過A，D兩點作⊙O，交AB于點E，

（1）求弦AD的長；

（2）如圖1，當圓心O在AB上且點M是⊙O上一動點，連接DM交AB于點N，求當ON等于多少時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形？

（3）如圖2，當圓心O不在AB上且動圓⊙O與DB相交于點Q時，過D作DH⊥AB（垂足為H）并交⊙O于點P，問：當⊙O變動時DP﹣DQ的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）當ON等于1或﹣1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形

（3）不變，理由見解析

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長；
（2）連DE、ME，易得當ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，根據垂徑定理得推論得OE⊥DM，易得到△ADC為等邊三角形，得∠CAD=60°，則∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根據含30°的直角三角形三邊的關系得DN=AD=，ON=DN=1；
當MD=ME，DE為底邊，作DH⊥AE，由于AD=2，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，則∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根據等腰直角三角形的性質得到NH=DH=，則ON=-1；
（3）連AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，則∠PDB=∠C=60°，再根據圓周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，則∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易證得△AQC≌△APD，得到
DP=CQ，則DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC為等邊三角形，CD=AD=2，即可得到DP-DQ的值．

解：（1）∵∠BAC＝90°，點D是BC中點，BC＝4，

∴AD＝BC＝；

（2）連DE、ME，如圖，∵DM＞DE，

當ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，

∴OE⊥DM，

又∵AD＝AC，

∴△ADC為等邊三角形，

∴∠CAD＝60°，

∴∠DAO＝30°，

∴∠DON＝60°，

在Rt△ADN中，DN＝AD＝，

在Rt△ODN中，ON＝DN＝1，

∴當ON等于1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形；

當MD＝ME，DE為底邊，如圖3，作DH⊥AE，

∵AD＝2，∠DAE＝30°，

∴DH＝，∠DEA＝60°，DE＝2，

∴△ODE為等邊三角形，

∴OE＝DE＝2，OH＝1，

∵∠M＝∠DAE＝30°，

而MD＝ME，

∴∠MDE＝75°，

∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，

∴∠DNO＝45°，

∴△NDH為等腰直角三角形，

∴NH＝DH＝，

∴ON＝﹣1；

綜上所述，當ON等于1或﹣1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形；

（3）當⊙O變動時DP﹣DQ的值不變，DP﹣DQ＝2．理由如下：

連AP、AQ，如圖2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝2．