Question

【題目】如圖，是的直徑，點是上一點，與過點的切線垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點，平分，交于點．

求證：平分；

求證：是等腰三角形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）依據切線的性質可知OC⊥DC，然后可證明AD∥OC，依據平行線的性質可得到∠DAC=∠ACO，然后依據OA=OC可證明∠OAC=∠ACO，通過等量代換可證明AC平分∠DAB；
（2）依據直徑所對的圓周角等于90°可證明∠ACB=90°，然后依據同角的余角相等可證明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，從而得到∠CAE=∠BCP，然后結合∠ACE=∠ECB可證明∠PCE=∠PEC．

如圖所示：連接．

∵切于點，

∴．

又∵，

∴．

∴．

又∵，

∴，

∴，

即平分．

∵，

∴．

又∵為的直徑，

∴．

∴，

∴．

又∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

即是等腰三角形．