Question

【題目】問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個用足夠長的的細鐵絲制作的直角的頂點D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點D旋轉，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點．

問題探究：（1）在旋轉過程中，

①如圖2，當AD＝BD時，線段DP、DQ有何數量關系？并說明理由．

②如圖3，當AD＝2BD時，線段DP、DQ有何數量關系？并說明理由．

③根據你對①、②的探究結果，試寫出當AD＝nBD時，DP、DQ滿足的數量關系為_______________（直接寫出結論，不必證明）

（2）當AD＝BD時，若AB＝20，連接PQ，設△DPQ的面積為S，在旋轉過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）① DP=DQ，理由見解析； ②DP=2DQ，理由見解析； ③DP=nDQ；（2）S有最小值為25； S有最大值為10，理由見解析.

【解析】

（1）①首先利用等腰直角三角形的性質得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；

②首先得出△DPM∽△DQN，則，求出△AMD∽△BND，進而得出答案.

③根據已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，則，則AD=nBD，求出即可；

（2）當DP⊥AC時，x最小，最小值是5.此時，S有最小值；當點P與點A重合時，x最大，最大值為10，分別求出即可．

解：（1）①DP＝DQ

理由：連接CD，

∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ.

② DP=" 2DQ" ．

理由：如圖，過點D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分別為M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ，

∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN="DP:DQ" ．

∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，

∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN．

∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1，

∴DP=2DQ．

③DP=NQ．

（2）存在，設DQ=x，由（1）①知DP=x，

∴S=

，

當DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，

當點P與點A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，