Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AO是角平分線，D為AO上一點，作△CDE，使DE=DC，∠EDC=∠BAC，連接BE．

（1）若∠BAC=60°，求證：△ACD≌△BCE；
（2）若∠BAC=90°，AD=DO，求 的值；
（3）若∠BAC=90°，F為BE中點，G為 BE延長線上一點，CF=CG，AD=nDO，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵△ABC和△CDE為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB﹣∠DCO=∠DCE﹣∠DCO，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）

如圖2中，

∵AB=AC，OA平分∠BAC，

∴AO⊥BC，OB=OC，

∵∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC，DE=DC，

∴∠ACB=∠DCE=45°，BC= AC，EC= CD，

∴ = ，∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴ = = ，

∵OA=OB=OC，AD=OD，

∴AD= BC，

∴ = ，

∴ =

（3）

如圖3中，作CH⊥BG于H．

由（2）可知△ACD∽△BCE，

∴BE：AD= ，∠CAD=∠CBE=45°，設OD=k，則AD=nk，BE= nk，AO=（n+1）k，

∵∠ABC=∠HBC=45°，∠BAC=∠BHC，BC=BC，

∴△ABC≌△HBC，

∴BH=CH=AB=AC= （n+1）k，BF= nk，

FH=HG= （n+1）k﹣ nk，

∴ = =

【解析】（1）只要證明∠ACD=∠BCE，即可根據SAS證得△ACD≌△BCE；（2）首先證明△ACD∽△BCE，得 = = ，再根據AD= BC即可解決問題．（3）如圖3中，作CH⊥BG于H．設OD=k，則AD=nk，BE= nk，AO=（n+1）k，首先證明△ABC≌△HBC，得BH=CH=AB=AC= （n+1）k，BF= nk，求出BG即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．