Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．

（1）求證：AB=AC；
（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，

∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，

∴∠DAC=∠ABC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）

作AF⊥CD于F，

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，

∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，

∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，

∴∠AEH=∠AEF，

在△AEH和△AEF中，

，

∴△AEH≌△AEF，

∴EH=EF，

∴CE+EH=CF，

在△ABH和△ACF中，

，

∴△ABH≌△ACF，

∴BH=CF=CE+EH．

【解析】（1）根據弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據△ABH≌△ACF，得到答案．
【考點精析】利用平行四邊形的性質和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．