Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+c與x軸交于A，B兩點，它的對稱軸與x軸交于點N，過頂點M作ME⊥y軸于點E，連結BE交MN于點F，已知點A的坐標為（﹣1，0）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點M的坐標．
（2）求△EMF與△BNF的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，

解得：c=3，

∴y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點M（1，4）

（2）解：∵A（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴點B（3，0），

∴EM=1，BN=2，

∵EM∥BN，

∴△EMF∽△BNF，

∴ =（ ）2=（ ）2= ．

【解析】（1）直接將（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出頂點坐標；（2）利用EM∥BN，則△EMF∽△BNF，進而求出△EMF與△BNE的面積之比．
【考點精析】掌握二次函數的性質和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．