Question

【題目】如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，連接AO并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D．
（1）求證：PO平分∠APC；
（2）連接DB，若∠C=30°，求證：DB∥AC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OB，

∵PA，PB是⊙O的切線，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

又OA=OB，

∴PO平分∠APC

（2）證明：∵OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠CAP=∠OBP=90°，

∵∠C=30°，

∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°，

∵PO平分∠APC，

∴∠OPC= ∠APC= =30°，

∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°，

又OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形，

∴∠OBD=60°，

∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°，

∴∠DBP=∠C，

∴DB∥AC

【解析】（1）連接OB，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答；（2）先證明△ODB是等邊三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．