Question

【題目】圖1、圖2為同一長方體房間的示意圖，圖3為該長方體的表面展開圖．
（1）蜘蛛在頂點A′處． ①蒼蠅在頂點B處時，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線．
②蒼蠅在頂點C處時，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線A′HC，試通過計算判斷哪條路線更近．
（2）在圖3中，半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在⊙M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線，若PQ與⊙M相切，試求PQ長度的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①根據“兩點之間，線段最短”可知：

線段A′B為最近路線，如圖1所示．

②（i）．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內，如圖2①．

在Rt△A′B′C中，

∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，

∴AC= = =20 ．

(ii)．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內，如圖2②．

在Rt△A′C′C中，

∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，

∴A′C= = =10 ．

∵ ＜ ，

∴往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近

（2）解：過點M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，BC′=60dm，

∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，

根據勾股定理可得AM= = = ，

MB= = = ，

∴50≤MP≤ ．

∵⊙M與PQ相切于點Q，

∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，

∴PQ= = ．

當MP=50時，PQ= =20 ；

當MP= 時，PQ= =55．

∴PQ長度的范圍是20 dm≤PQ≤55dm

【解析】（1）①根據“兩點之間，線段最短”可知：線段A′B為最近路線； ②(i)．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內，如圖2①，運用勾股定理求出AC長；(ii)．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內，如圖2②，運用勾股定理求出A′C長，然后將兩個長度進行比較，就可解決問題；（2）過點M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．由⊙M與PQ相切于點Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根據勾股定理可得PQ= = ．要求PQ的取值范圍，只需先求出MP的取值范圍，就可解決問題．
【考點精析】關于本題考查的幾何體的展開圖和線段的基本性質，需要了解沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形，若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；同一個多面體沿不同的棱剪開，得到的平面展開圖是不一樣的，就是說：同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖；線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短．也可簡單說成：兩點之間線段最短；連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離；線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的才能得出正確答案．