Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分線交BC于E，連接DE．
（1）說明點D在△ABE的外接圓上；
（2）若∠AED=∠CED，試判斷直線CD與△ABE外接圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

證明：（1）證法一：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圓的直徑．
取AE的中點O，則O為圓心，連接OB、OD．
在△AOB和△AOD中，

AB=AD ∠BAO=∠DAO AO=AO

，
∴△AOB≌△AOD．
∴OD=OB．
∴點D在△ABE的外接圓上．

證法二：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圓的直徑．
在△ABE和△ADE中，

AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE

，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠ADE=∠B=90°．
取AE的中點O，則O為圓心，連接OD，則OD=

1

2

AE．
∴點D在△ABE的外接圓上．

（2）證法一：直線CD與△ABE的外接圓相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
∴∠CED+∠CDE=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．
∴CD與△ABE的外接圓相切．

證法二：直線CD與△ABE的外接圓相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴OD∥BC．
∴∠ODC=90°．
∴CD與△ABE的外接圓相切．