Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，2），B（3，2），連接AB．若對于平面內一點P，線段AB上都存在點Q，使得PQ≤2，則稱點P是線段AB的“影子”．

（1）在點C（0，1），D（2，），E（4，5）中，線段AB的”影子”是 ．

（2）若點M（m，n）在直線y=-x+2上，且不是線段AB的“影子”，求m的取值范圍．

（3）若直線y=x+b上存在線段AB的“影子”，求b的取值范圍以及“影子”構成的區域面積．

Answer 1

【答案】（1）C，D；（2）m＜或m＞2；；（3）4π+8．

【解析】

（1）根據A、B的坐標得出AB∥x軸，根據點P到直線AB的距離≤2，求出當橫坐標-1≤x≤3縱坐標2≤y≤4范圍內時，點是線段AB的“臨近點”，看點的縱坐標是否在y的范圍內即可以及在A點的左邊到A點的距離≤2，或在B點的右邊到B點的距離≤2，點是線段AB的“臨近點”；

（2）如圖，設直線線y=-x+2交“影子”于點C，F，如圖所示，延長BA交y軸于E，過C作CD⊥BA于BA的延長線于D，結合圖形和一次函數圖象上點的坐標特征來求m的范圍；

（3）當直線y=x+b與半圓A相切、與半圓B相切來求b的最值，從而得到b的取值范圍．

（1）C（0，1），D（2，）是線段AB的“臨近點”．理由是：

∵點P到直線AB的距離≤2，A、B的縱坐標都是2，

∴AB∥x軸，2-2=0，2+2=4，

∴當橫坐標-1≤x≤3縱坐標2≤y≤4范圍內時，該點是線段AB的“臨近點”，

∵D（2，），

∴D（2，）是線段AB的“臨近點”；

∵C（0，1），A（1，2），

∴AC=1-0=1，

∴C（0，1）是線段AB的“臨近點”．

故答案為：C和D；

（2）設直線線y=-x+2交“影子”于點C，F，如圖所示，延長BA交y軸于E，過C作CD⊥BA于BA的延長線于D，

在Rt△ADC中，設D（x，2），則DE=-x，CD=-x，

∴DA=1-x，AC=2，

∴（-x）2+（1-x）2=4，

解得：x1=，x2=，

∵直線y=-x+2與x軸的解得為F（2，0），

∴m＜或m＞2；

（3）設直線y=x+b與半圓B相切于G，與x軸交于k，與y軸交于I，過B作BH⊥x軸于H，

則H（3，0），

在Rt△BHK中，BH=2，∠BKH=60°，

∴HK=，

在Rt△OKI中，OI=3+2，則I（0，-3-2），

同理J（0，6-），

∴b的取值范圍：-2-3≤b≤6-，

∵“影子”構成的區域為兩個半圓和一個矩形，

∴影子”構成的區域面積=22π+4×2=4π+8．