Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且點C是的中點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，交AF的延長線于點E．

（1）求證：AE⊥DE；

（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE=2.

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得OC⊥DE，再利用圓周角定理得到∠BAC=∠EAC，加上∠BAC=∠OCA，所以∠EAC=∠OCA．則OC∥AE，從而得到AE⊥DE；

（2）連接BF交OC于G，如圖，利用圓周角定理得到∴∠BFA=90°．易得四邊形CEFG是矩形．則CO⊥BF，CF=GF，利用垂徑定理得到BG=GF，再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BF=AF=4，則BG=GF=2，從而得到CE的長．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵DE切⊙O于C，

∴OC⊥DE，

∵點C是的中點，

∴∠BAC=∠EAC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∴∠EAC=∠OCA．

∴OC∥AE．

∴AE⊥DE；

（2）連接BF交OC于G，如圖，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠BFA=90°．

易得四邊形CEFG是矩形．

∴CO⊥BF，CF=GF，

∴BG=GF，

在Rt△ABF中，∠BAE=60°，AF=4，

∴BF=AF=4，

∴BG=GF=2

∴CE=2．