Question

如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．

（1）求證：△ACD∽△ABC；

（2）求證：∠PCA=∠ABC；

（3）過點A作AE∥PC交⊙O于點F，連接BE，若sin∠P=，CF=5，求BE的長．

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）欲證明△ACD∽△ABC，只要證明①∠ADC=∠ACB，②∠CAD=∠BAC即可．

（2）利用等角的余角相等證明，即證明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解決問題．

（3）先證明FA=FC=5，在RT△ADF中，根據sin∠FAD=求出DF、AD，在RT△COD中利用勾股定理求出半徑，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=求出BE即可．

【解答】（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CG⊥AB，

∴∠ADC=90°=∠ACB，

∵∠CAD=∠BAC，

∴△ACD∽△ABC．

（2）證明：連接OC．

∵PC切⊙O于C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°

∴∠PCA+∠OCA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠OAC=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠PCA=∠ABC．

（3）解：∵AE∥PC，

∴∠PCA=∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴=，

∴∠ACF=∠ABC，

∵∠PCA=∠BC，

∴∠ACF=∠CAF，

∴FA=FC，

∵CF=5，

∴AF=5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD=∠P，

∵sin∠P=，

∴sin∠FAD=，

∴FD=3，AD=4，CD=8，

在RT△COD中，設CO=r，則有r²=（r﹣4）²+8²

∴r=10，

∴AB=2r=20，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∴sin∠EAB=，

∴，

∴=，

∴EB=12．

【點評】本題考查圓的有關知識、相似三角形的判定和性質、三角函數、勾股定理等知識，注意連接OC是圓中常用輔助線，熟練掌握垂徑定理、切線的性質是解題的關鍵，屬于中考壓軸題．