Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c的圖象過點A（﹣3，0）和點B（1，0），且與y軸交于點C，D點在拋物線上且橫坐標是﹣2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣3，0），B（1，0）代入y=x2+bx+c，

得 ，

解得

∴y=x2+2x﹣3

（2）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4

∴對稱軸x=﹣1，

又∵A，B關于對稱軸對稱，

∴連接BD與對稱軸的交點即為所求P點．

過D作DF⊥x軸于F．將x=﹣2代入y=x2+2x﹣3，

則y=4﹣4﹣3=﹣3，

∴D（﹣2，﹣3）

∴DF=3，BF=1﹣（﹣2）=3

Rt△BDF中，BD=

∵PA=PB，

∴PA+PD=BD= ．

故PA+PD的最小值為 ．

【解析】（1）把A（﹣3，0）和點B（1，0），代入y=x2+bx+c，建立關于b，c的二元一次方程組，求出b，c即可；（2）先求出拋物線的對稱軸，又因為A，B關于對稱軸對稱，所以連接BD與對稱軸的交點即為所求P點．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．