Question

【題目】先化簡,再求值：

閱讀材料，大數學家高斯在上學讀書時曾經研究過這樣一個問題：1+2+3+…+100＝？經過研究，這個問題的一般性結論是1+2+3+…+，其中ｎ是正整數。現在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…＝？

觀察下面三個特殊的等式

將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝

讀完這段材料，請你思考后回答：（只需寫出結果，不必寫中間的過程）

（1）　　　　　

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n+1)= 　　　　　

（3）　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）343400；（2）n（n+1）（n+2）；（3）n（n+1）（n+2）（n+3）．

【解析】

（1）根據三個特殊等式相加的結果，代入熟記進行計算即可求解；

（2）先對特殊等式進行整理，從而找出規律，然后把每一個算式都寫成兩個兩個算式的運算形式，整理即可得解；

（3）根據（2）的求解規律，利用特殊等式的計算方法，先把每一個算式分解成兩個算式的運算形式，整理即可得解．

因為1×2+2×3+3×43×4×5=20，即1×2+2×3+3×43×（3+1）×（3+2）=20，故：

（1）原式100×（100+1）×（100+2）100×101×102=343400；

（2）原式n（n+1）（n+2）；

（3）∵1×2×3=[1×2×3×4﹣0×1×2×3]，2×3×4=[2×3×4×5﹣1×2×3×4]，...，n（n+1）（n+2）= [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣n（n﹣1）（n+1）（n+2）]

∴原式=[1×2×3×4﹣0×1×2×3]+ [2×3×4×5﹣1×2×3×4]+...+ [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣n（n﹣1）（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．

故答案為：343400；n（n+1）（n+2）；n（n+1）（n+2）（n+3）．