Question

如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若△OBM的面積為2．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥MP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）  （2）在x軸上存在點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，0）

試題分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，0）可得到關(guān)于b、k₁的方程組，進(jìn)而可得到一次函數(shù)的解析式，設(shè)M（m，n）作MD⊥x軸于點(diǎn)D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線上即可求出k₂的值，進(jìn)而求出其反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出OP的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
解：（1）∵直線y=k₁x+b過A（0，﹣2），B（1，0）兩點(diǎn)
∴，
∴
∴已知函數(shù)的表達(dá)式為y=2x﹣2．（3分）
∴設(shè)M（m，n），作MD⊥x軸于點(diǎn)D
∵S_△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴將M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M(jìn)（3，4）在雙曲線上，
∴，
∴k₂=12
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為
（2）過點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，

∵M(jìn)D⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x軸上存在點(diǎn)P，使PM⊥AM，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，0）（10分）
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及到的知識點(diǎn)為用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．