Question

【題目】如圖，在△MNQ中，MN=11，NQ=，，矩形ABCD，BC=4，CD=3，點A與M重合，AD與MN重合．矩形ABCD沿著MQ方向平移，且平移速度為每秒5個單位，當點A與Q重合時停止運動．

（1）MQ的長度是　 　；

（2）運動　 　秒，BC與MN重合；

（3）設矩形ABCD與△MNQ重疊部分的面積為S，運動時間為t，求出S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）　10　；（2）　1　；（3）S=12t；S=12；S=﹣8.25t+22.5；S=﹣t+35.

【解析】試題分析：（1）過Q作QH⊥MN于H，根據 求出NH=3，求出MH，根據勾股定理求出QH，即可求出答案；

（2）連接BD，解直角三角形求出QM∥BD，當BC和MN重合時，B正好到D點，求出BD的長即可；

（3）分為四種情況：①當BC運動到MN上時；②當點D運動到QN上時；③當C運動到QN上時；④當C運動到△QMN的外部，即＜t≤2時．

解：（1）如圖1，過Q作QH⊥MN于H，

∵QN=3，cosN==，

∴NH=3，

∴MH=11﹣3=8，

在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH==6，

在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ==10，

故答案為：10．

（2）連接BD，如圖1，

∵tan∠ABD==，tan∠QMN===，

∴QM∥BD，

當BC和MN重合時，B正好到D點，由勾股定理得：BD=5，

5÷5=1，

即運動1秒時，BC和MN重合，

故答案為：1．

（3）分為四種情況：

①當BC運動到MN上時，此時0＜t≤1，如圖2，

∵sinM==，

∴=，

∴AK=3t，

∵AD=4，

∴S=43t=12t；

②當D到QN上時，此時1＜t≤，如圖3，

∵△QAD∽△QMN，

∴=，

∴=，

∴QR=，

∵AD∥MN，

∴△QAR∽△QMH，

∴=，

∴=，

∴t=，

即此時1＜t≤，

S=3×4=12；

③當C到QN上時，此時＜t≤，如圖4，

∵AD∥MN，

∴∠AFQ=∠N=∠DFC，

∵∠D=∠QHN=90°，

∴△DFC∽△HNQ，

∴=，

∴=，

∴DF=1.5，

AF=4﹣1.5=2.5，

∵AD∥MN，

∴△QAF∽△QMN，

∴=，

∴=，

∴t=，

即當C到QN上時，t=，

∵=，

∴=，

∴AF=11﹣5.5t，

S=（AF+BC）×CD

=（11﹣5.5t+4）3，

S=﹣8.25t+22.5；

④當＜t≤2時，如圖5，

∵AD∥MN，

∴△QAF∽△QMN，

∴=，

∴=，

∴AF=11﹣5.5t，

過K作KP⊥AD于P，

則△KPF∽△QHN，

∴=，

∴=，

∴PF=1.5，

∴BK=AP=AF+PF=11﹣5.5t+1.5=12.5﹣5.5t，

∴S=（AF+BK）CD= [11﹣5.5t+12.5﹣5.5t]×3，

S=﹣t+35.25．