Question

【題目】在研究反比例函數的圖象與性質時，我們對函數解析式進行了深入分析．

首先，確定自變量的取值范圍是全體非零實數，因此函數圖象會被軸分成兩部分；其次，分析解析式，得到隨的變化趨勢：當時，隨著值的增大，的值減小，且逐漸接近于零，隨著值的減小，的值會越來越大…，由此，可以大致畫出在時的部分圖象，如圖所示：

利用同樣的方法，我們可以研究函數的圖象與性質．通過分析解析式畫出部分函數圖象如圖所示．

（1）請沿此思路在圖中完善函數圖象的草圖并標出此函數圖象上橫坐標為0的點；（畫出網格區域內的部分即可）

（2）觀察圖象，寫出該函數的一條性質：__________；

（3）若關于的方程有兩個不相等的實數根，結合圖象，直接寫出實數的取值范圍： __________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，隨增大而減小；（3）

【解析】

（1）先得出函數自變量的取值范圍，再分析解析式，得到隨的變化趨勢，由此完善函數圖象即可；令求出y的值即可得出點A坐標；

（2）根據函數圖象得出其增減性即可；

（3）將所求問題看成函數與一次函數的交點問題，先找出一個臨界位置，再根據一次函數的性質即可得．

（1）由二次根式的被開方數的非負性、分式的分母不能為0得：

解得：且

令得

則點A坐標為

分析解析式，得到隨的變化趨勢：當時，隨著值的增大，的值會越來越小；當時，隨著值的增大，的值會減小，且逐漸接近于零，由此，完善函數圖象如圖所示：

（2）由（1）圖象可知，當時，隨增大而減小；（注：答案不唯一）

（3）由題意得，函數與一次函數有兩個交點

一次函數的圖象經過定點

要使兩個函數有兩個交點，一次函數經過點是一個臨界位置，此時有，即

因此，結合函數圖象可知，當時，兩個函數必有兩個交點，即關于的方程有兩個不相等的實數根

故答案為：．