Question

19．如圖，在?ABCD中，點E在BC邊上，AE=AB，點F在DE上，∠DAF=∠CDE．
（1）△AEF∽△DEA，并證明：
（2）如果AB=6，DF=5，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由AB=AE得到∠B=∠1，再利用平行四邊形的性質得AD∥BC，∠B=∠ADC，所以∠1=∠DAE，則∠DAE=∠ADC，于是可得到∠2=∠3，然后根據相似三角形的判定方法可判定△AEF∽△DEA；
（2）利用△AEF∽△DEA得到AE：EF=ED：AE，則可得到關于EF的一元二次方程，然后解方程即可．

解答 解：（1）△AEF∽△DEA．理由如下：
∵AB=AE，
∴∠B=∠1，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠1=∠DAE，
∴∠DAE=∠ADC，
即∠2+∠DAF=∠3+∠CDE，
∵∠DAF=∠CDE，
∴∠2=∠3，
而∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA；
故答案為△DEA；
（2）∵AB=6，
∴AE=6，
∵△AEF∽△DEA，
∴AE：EF=ED：AE，即6：EF=（EF+5）：6，
整理得EF²+5EF-36=0，解得EF=-9（舍去）或EF=4，
即EF的長為4．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時，主要利用相似進行幾何計算．