Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB=90°，OA、OB的長分別是一元二次方程x²﹣25x+144=0的兩個根（OA＜OB），點D是線段BC上的一個動點（不與點B、C重合），過點D作直線DE⊥OB，垂足為E．

（1）求點C的坐標．
（2）連接AD，當AD平分∠CAB時，求直線AD的解析式．
（3）若點N在直線DE上，在坐標系平面內，是否存在這樣的點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）C（0，12）。
（2）。
（3）存在點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形，
點M的坐標是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

試題分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的長，證△AOC∽△COB，推出OC²=OA•OB，即可得出答案。
解x²﹣25x+144=0得x=9或x=16，
∵OA、OB的長分別是一元二次方程x²﹣25x+144=0的兩個根（OA＜OB），
∴OA=9，OB=16。
在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACO=∠CBA。
∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB。∴OC²=OA•OB。∴OC=12，
∴C（0，12）。
（2）應用相似三角形求得點D 的坐標，應用待定系數法即可求得直線AD的解析式。
在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。
∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。
又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。
∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。
∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。
∴，即，解得。
∴D（6，）。
設直線AD的解析式是y=kx+b，
將A（﹣9，0）和D（6，）代入得：
，解得。
∴直線AD的解析式是：。
（3）存在點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形。
① 以BC為對角線時，作BC的垂直平分線交BC于Q，交x軸于F，在直線FQ上取一點M，使∠CMB=90°，則符合此條件的點有兩個，

BQ=CQ=BC=10，
∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，
∴△BQF∽△BOC。∴。
∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF=。
∴OF=16﹣=。∴F（，0）。
∵OC=12，OB=16，Q為BC中點，∴Q（8，6）。
設直線QF的解析式是y=ax+c，
代入得：，解得。
∴直線FQ的解析式是：。
設M的坐標是（x，），
根據CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）²+（﹣12）²=（x﹣16）²+（﹣0）²，
解得x₁=14，x₂=2。
∴M的坐標是（14，14），（2，﹣2）。
②以BC為一邊時，過B作BM₃⊥BC，且BM₃=BC=20，過M₃Q⊥OB于Q，還有一點M₄，CM₄=BC=20，CM₄⊥BC，

則∠COB=∠M₃B=∠CBM₃=90°。
∴∠BCO+∠CBO=90°，
∠CBO+∠M₃BQ=90°。
∴∠BCO=∠M₃BQ。
∵在△BCO和△M₃BQ中，
，
∴△BCO≌△M₃BQ（AAS）。
∴BQ=CO=12，QM₃=OB=16，
OQ=16+12=28，
∴M₃的坐標是（28，16）。
同法可求出CT=OB=16，M₄T=OC=12，OT=16﹣12=4，
∴M₄的坐標是（﹣12，﹣4）。
綜上所述，存在點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形，
點M的坐標是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。