Question

【題目】（基礎模型）

已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，過點C任作一條直線l（不與CA、CB重合），過點A作AD⊥l于D，過點B作BE⊥l于 E．

（1）如圖②，當點A、B在直線l異側時，求證：△ACD≌△CBE

（模型應用）

在平面直角坐標性xOy中，已知直線l：y＝kx﹣4k（k為常數，k≠0）與x軸交于點A，與y軸的負半軸交于點 B．以AB為邊、B為直角頂點作等腰直角△ABC．

（2）若直線l經過點（2，﹣3），當點C在第三象限時，點C的坐標為　 　．

（3）若D是函數y＝x（x＜0）圖象上的點，且BD∥x軸，當點C在第四象限時，連接CD交y軸于點E，則EB的長度為　 　．

（4）設點C的坐標為（a，b），探索a，b之間滿足的等量關系，直接寫出結論．（不含字母k）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（4）a+ b=-4或b﹣a＝4．

【解析】

（1）利用同角的余角相等判斷出∠CAD＝∠BCE，進而利用AAS即可得出結論；

（2）先求出直線l的解析式，進而確定出點A，B坐標，再判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結論；

（3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，從而得BF＝OA＝4，再證△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；

（4）分點C在第二象限，第三象限和第四象限三種情況：先確定出點A，B坐標，再同（2）（3）的方法確定出點C的坐標（用k表示），即可得出結論．

（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠ECB＝90°，

∵AD⊥l，BE⊥l，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵CA＝CB，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）如圖1，過點C作CE⊥y軸于點E，

∵直線l：y＝kx﹣4k經過點(2，﹣3)，

∴2k﹣4k＝﹣3，

∴k＝，

∴直線l的解析式為：y＝x﹣6，

令x＝0，則y＝﹣6，

∴B(0，﹣6)，

∴OB＝6，

令y＝0，則0＝x﹣6，

∴x＝4，

∴A(4，0)，

∴OA＝4，

同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS），

∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4，

∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，

∵點C在第三象限，

∴C(﹣6，﹣2)，

故答案為：(﹣6，﹣2)；

（3）如圖2，

對于直線l：y＝kx﹣4k，

令x＝0，則y＝﹣4k，

∴B(0，﹣4k)，

∴OB＝4k，

令y＝0，則kx﹣4k＝0，

∴x＝4，

∴A(4，0)，

∴OA＝4，

過點C作CF⊥y軸于F，則△OAB≌△FBC（AAS），

∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k，

∴OF＝OB+BF＝4k+4，

∵點C在第四象限，

∴C(4k，-4k-4)，

∵B(0，﹣4k)，

∵BD∥x軸，且D在y＝x上，

∴D(﹣4k，﹣4k)，

∴BD＝4k＝CF，

∵CF⊥y軸于F，

∴∠CFE＝90°，

∵BD∥x軸，

∴∠DBE＝90°＝∠CFE，

∵∠BED＝∠FEC，

∴△BED≌△FEC（AAS），

∴BE＝EF＝BF＝2，

故答案為：2；

（4）①當點C在第四象限時，由（3）知，C(4k，-4k-4)，

∵C(a，b)，

∴a＝4k，b＝-4k-4，

∴a+ b=-4；

②當點C在第三象限時，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，

∴OB＝4k，OA＝4，

如圖1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），

∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4，

∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4，

∴C(﹣4k，-4k+4)，

∵C(a，b)，

∴a＝﹣4k，b＝-4k+4，

∴b﹣a＝4；

③當點C在第二象限時，如圖3，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，

∴OB＝4k，OA＝4，

∵△OAB≌△MBC（AAS），

∴CM＝OB＝4k，BM＝OA＝4，

∴OM＝BM﹣BO＝4﹣4k，

∴C(﹣4k，4﹣4k)，

∵C(a，b)，

∴a＝﹣4k，b＝4﹣4k，

∴b﹣a＝4；

④點C不可能在第一象限；

綜上所述：a+ b=-4或b﹣a＝4．

圖3