Question

如圖，⊙O是△ABC外接圓，直徑AB=12，∠A=2∠B．
（1）∠A=______°，∠B=______°；
（2）求BC的長（結果用根號表示）；
（3）連接OC并延長到點P，使CP=OC，連接PA，畫出圖形，求證：PA是⊙O的切線．

Answer 1

（1）∵∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A=60°，∠B=30°；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=65．
∴BC=

AB2-AC2

=6

3

；

（3）如圖，∵OP=2OC=AB，
∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△OAC為等邊三角形．
∴∠AOC=60°．
在△ABC和△OPA中，
∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，
∴△ABC≌△OPA．
∴∠OAP=∠ACB=90°．
∴PA是⊙O的切線．