Question

一張等腰直角三角形紙片ABC，∠A=90°，AB=AC=2

2

，另有一張等腰梯形紙片DEFG，DG∥EF，DE=GF．現將兩張紙片疊放在一起（如圖1），此時梯形的下底EF與BC邊完全重合，梯形的兩腰分別落在AB，AC上，且D，G恰好分別是AB，AC的中點．
（1）求BC的長及等腰梯形DEFG的面積；
（2）實驗與探究（備用圖供實驗、探究使用）
如圖2，固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1厘米的速度沿射線BC方向平行移動，宜到點E與點C重合時停止，設運動時間為x秒時，等腰梯形平移到D₁EFG₁的位置．
①當x為何值時，四邊形DBED₁是菱形，并說明理由．
②設△ABC與等腰梯形D₁EFG₁重疊部分的面積為y，直接寫出y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4，根據三角形中位線求出DG=

1

2

BC=2，BD=

1

2

AB=

2

，過D作DM⊥BC于M，求出DM，根據面積公式求出即可．
（2）①當x=

2

秒時，四邊形DBED₁是菱形，求出四邊形DBED₁是平行四邊形，根據菱形的判定得出BE=DB=

2

．
②分為兩種情況：畫出圖形，（i）當0＜x≤2時，則DM=1，D₁G=2-x，CE=4-x，根據面積公式求出即可．（ii）當2＜x≤4時，點D₁在線段DG的延長線上時，
設D₁E和CG交于N，過N作NH⊥BC于H，求出EC=4-x，求出CN=NE=

4-x

2

，根據三角形面積公式求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，由勾股定理得：BC=

AB2+AC2

=4，
∴∠B=45°，EF=BC=4，
∵D、G分別是AB、AC的中點，
∴DG=

1

2

BC=2，BD=

1

2

AB=

2

，
過D作DM⊥BC于M，如圖1，
則∠DMB=90°，
∵∠B=45°，BD=2，
∴DM=BM=1，
∴S_梯形DEFG=

1

2

×（DG+EF）×DM=

1

2

×（2+4）×1=3．

（2）①如圖2，當x=

2

秒時，四邊形DBED₁是菱形，
理由是：根據題意BE=x，
∵BD∥ED₁，DD₁∥BE，
∴四邊形DBED₁是平行四邊形，
當BE=DB=

2

時，四邊形DBED₁為菱形．

②分為兩種情況：
（i）、如圖3，當0＜x≤2時，
點D₁在線段DG上，
DM=1，D₁G=2-x，CE=4-x，
則重疊部分的面積是y=

1

2

•（2-x+4-x）•1，
即y=3-x；
（ii）、當2＜x≤4時，點D₁在線段DG的延長線上時，如圖4，
設D₁E和CG交于N，過N作NH⊥BC于H，
∵平移得到四邊形D₁EFG₁，
∴∠ENC=∠A=90°，
∵EC=4-x，∠NCE=45°，
∴∠NEC=45°=∠NCE，
∴CN=NE=

4-x

2

，
∴重疊部分的面積y=

1

2

×CN×NE=

1

2

•

4-x

2

•

4-x

2

，
即y=

1

4

x²-2x+4．

點評：本題考查了三角形的面積，菱形的性質和判定，勾股定理，平行線的性質，梯形的性質，三角形的中位線性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，有一定的難度．