Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，弦CD//BM，交AB于點F，且，連接AC，AD，延長AD交BM于點E.

（l）求證：△ACD是等邊三角形；

（2）連接OE，若DE＝2，求OE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題（1）根據切線的定義可知AB⊥BM，又∵BM//CD，∴AB⊥CD，根據圓的對稱性可得AD=AC，再根據等弧對等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得△ACD是等邊三角形；（2）△ACD為等邊三角形，AB⊥CD，由三線合一可得∠DAB=30°，連接BD，根據直徑所對的角是直角和三角形的內角和可得∠∠EBD＝∠DAB＝30°，因為DE＝2，求出BE＝4，根據勾股定理得，直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得， ， ，在Rt△OBE中，根據勾股定理即可得出OE的長．

試題解析：證：∵BM是⊙O切線，AB為⊙O直徑，∴AB⊥BM，∵BM//CD，∴AB⊥CD，

∴AD＝AC，∴AD＝AC，∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD為等邊三角形.

證：（2）△ACD為等邊三角形，AB⊥CD，∴∠DAB＝30°，連結BD，∴BD⊥AD.

∠EBD＝∠DAB＝30°，∵DE＝2，∴BE＝4， ， ， ，

在Rt△OBE中， ．