Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點為圓心，以為半徑作圓，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，二次函數的圖象經

過點A、B、C，頂點為E.

（1）求此二次函數的表達式；

（2）設∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；

（3）坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）為圓心，半徑為

∴

∴

設二次函數的表達式為

解得：

∴ 二次函數表達式為

整理成一般式為

（2）過點E作EF⊥y軸于點F

 

∴可得

點E為二次函數的頂點

∴點E的坐標為

∴

∴∠OCB=∠ECF=45º

∴∠BCE=90º

在Rt△BCE中與Rt△BOD中，

，

∴∠CBE＝∠OBD＝b，

∴ sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝

（3）顯然 Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P₁（0，0）

過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂ ∽Rt△BCE，得

過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）

故在坐標軸上存在三個點P₁（0，0），，P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似